Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各個頂點都在表面積為16π的球O的球面上，其中AB：AD：AA1=2：1：

3

，則四棱錐O-ABCD的體積為（　　）

• A．

  6

  3

• B．

  2 6

  3

• C．2

  3

• D．3

Answer 1

分析：因為AB：AD：AA1=2：1：

3

，故可設AB、AD、AA₁分別為2x，x，

3

x，（x＞0），長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體對角線等于其外接球O的直徑，可解得三棱長，故可得到四棱錐O-ABCD的底面積和高，可求體積．

解答：解：因為AB：AD：AA1=2：1：

3

，故可設AB、AD、AA₁分別為2x，x，

3

x，（x＞0）
由題意可知，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體對角線等于其外接球O的直徑，而由S=4πR²=16π，得
R=2，即2R=4，故4=

(2x)2+x2+( 3 x)2

，解得，x=

2

，故三邊長分別為2

2

，

2

，

6

即四棱錐O-ABCD的底面為邊長為2

2

，

2

的矩形，高為

6

2

∴四棱錐O-ABCD的體積V=

1

3

×2

2

×

2

×

6

2

=

2 6

3

，
故選B

點評：本題為長方體與外接球的問題，長方體的體對角線等于其外接球O的直徑是解決問題的關鍵，屬基礎題．