Question

11．函數f（x）=log_a（x-3a）與函數$g（x）={log_a}\frac{1}{x-a}$（a＞0，且a≠1）在給定區間[a+2，a+3]上有意義．
（1）求a的取值范圍；
（2）若在給定區間[a+2，a+3]上恒有|f（x）-g（x）|≤1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）要使f（x）與g（x）有意義，則有$\left\{\begin{array}{l}{x-3a＞0}\\{x-a＞0}\\{a＞0且a≠1}\end{array}\right.$，由此能求出a的取值范圍．
（2）在給定區間[a+2，a+3]上恒有|f（x）-g（x）|≤1，等價于|log_a（x-3a）（x-a）|≤1，即a≤（x-2a）²-a²≤$\frac{1}{a}$對于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．

解答 解：（1）要使f（x）與g（x）有意義，則有$\left\{\begin{array}{l}{x-3a＞0}\\{x-a＞0}\\{a＞0且a≠1}\end{array}\right.$，
要使f（x）與g（x）在給定區間[a+2，a+3]上都有意義，等價于：$\left\{\begin{array}{l}{a+2＞3a}\\{a＞0且a≠1}\end{array}\right.$，
所以0＜a＜1．
（2）在給定區間[a+2，a+3]上恒有|f（x）-g（x）|≤1，等價于|log_a（x-3a）（x-a）|≤1，
即a≤（x-2a）²-a²≤$\frac{1}{a}$對于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．
設h（x）=（x-2a）²-a²，x∈[a+2，a+3]，
且其對稱軸x=2a＜2在區間[a+2，a+3]的左邊，
?$\left\{\begin{array}{l}{a≤h（a+2）}\\{\frac{1}{a}≥h（a+3）}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a≤4-4a}\\{\frac{1}{a}≥9-6a}\end{array}\right.$，∴0＜a≤$\frac{9-\sqrt{57}}{12}$．

點評 本題考查對數函數的性質和應用，解題時要注意函數恒成立的充要條件的合理運用．