Question

已知的前項和滿足 ，其中（Ⅰ）求證： 首項為1的等比數列；（Ⅱ）若，求證：，并給指出等號成立的充要條件。

 

Answer 1

【答案】

：（Ⅰ）（Ⅱ）當且僅當 或時等號成立

【解析】：（Ⅰ）由，即，

因，故，得 

 又由題設條件知，

  兩式相減得 ，即  由 ，知  ，

因此綜上對所有成立，從而是首項為1，公比為的等比數列。

（Ⅱ）當時，顯然 ，等號成立

設 且，由（Ⅰ）知 ，所以要證的不等式化為 

即證：，當 時，上面不等式的等號成立

當 時， 與 同為負；當  時 

與  同為正，因此當 且  時，

總有，即

上面不等式對從1到 求各得

由此得

綜上，當 且 時，有，當且僅當 或時等號成立。

【考點定位】本題考查了數列前n項和的概念，不等式恒成立問題，數學歸納法的應用，合理猜想與邏輯推理的概念．對不等式的考查有一定的難度，綜合性較強，需要同學有深厚的功底才能勝任本題的解答，對數學歸納法的考查較深