Question

19.

已知公比為q(0＜q＜1)的無窮等比數列{a_n}各項的和為9，無窮等比數列{a_n²}各項的和為。

（Ⅰ）求數列{a_n}的首項a₁和公比q：

（Ⅱ）對給定的k(k=1,2,…,n),設T{k}是首項為a_k，公差為2a_k-1的等差數列，求數列T{2}的前10項之和：

（Ⅲ）設b_i為數列的第i項，s_n=b₁+b₂+…+b_n，求s_n，并求正整數m(m＞1),使得存在且不等于零。

（注：無窮等比數列各項的和即當n時該無窮等比數列前n項和的極限）

Answer 1

解(Ⅰ)由題設可得:

∴數列的首項為3,公比q為.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以,等差數列的首項為，公差

，即數列的前10項之和為155。

(Ⅲ)∵為數列的第i項，是首項為,公差為2-1的等差數列，

      ∴

又

=

=

令

則

以上兩式相減得：

                  

                  

                ∴

∴

∴

因為m>1，且存在，

顯然，當m=2時，,

當m>2時，，由題設不等于0，因此m>2不合題意，舍去。

 故滿足題設的m的值為2。