Question

正項數列{a_n}滿足a1=1，

a

2n+1

=

a

2n

+an+

1

4

，則

1

a1a2

+

1

a2a3

+…

1

anan+1

=（　　）

A．2- 4 n+2

B．1- 2 n+2

C．4- 2 n+1

D．2- 4 n+1

Answer 1

∵an+12=an2+an+

1

4

=(an+

1

2

)2且a_n＞0
∴an+1=an+

1

2

∵a₁=1
∴數列{a_n}是以1為首項，以

1

2

為公差的等差數列
∴an=1+

1

2

(n-1)=

1+n

2

∴

1

anan+1

=

4

(n+1)(n+2)

=4（

1

n+1

-

1

n+2

）
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=4（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）
=4（

1

2

-

1

n+2

）
故選A