Question

已知an=

9n(n+1)

10n

（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的最大項(xiàng)為第

8或9

項(xiàng)．

Answer 1

分析：由an=

9n(n+1)

10n

=(

9

10

)n•(n+1)，知

an+1

an

=

( 9 10 )n+1•(n+2)

( 9 10 )n•(n+1)

=

9

10

×(1+

1

n+1

)，令a_n=a_n+1，解得：n=8．當(dāng)n≥9時(shí)，1+

1

n+1

單調(diào)遞減，且n=9時(shí)，a_n取最大值

99

108

；當(dāng)1＜n＜9時(shí)，1+

1

n+1

單調(diào)遞增，且n=8時(shí)，a_n取最大值

99

108

．由此能求出數(shù)列{a_n}的最大項(xiàng)．

解答：解：∵an=

9n(n+1)

10n

=(

9

10

)n•(n+1)，
∴

an+1

an

=

( 9 10 )n+1•(n+2)

( 9 10 )n•(n+1)

=

9

10

×

n+2

n+1

=

9

10

×(1+

1

n+1

)，
 令a_n=a_n+1，得 

9

10

×(1+

1

n+1

)=1，
解得：n=8
①當(dāng)n≥9時(shí)，1+

1

n+1

單調(diào)遞減，且n=9時(shí)，a_n取最大值

99

108

；
②當(dāng)1＜n＜9時(shí)，1+

1

n+1

單調(diào)遞增，且n=8時(shí)，a_n取最大值

99

108

．
故數(shù)列{a_n}的最大項(xiàng)為a₈和a₉．
故答案為：8或9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的最大項(xiàng)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意函數(shù)的單調(diào)性的靈活運(yùn)用．