Question

在直平行六面體AC₁中，ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA₁．
（1）求證：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求證：平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求直線AC與平面AB₁D₁所成角的正弦值．
★你能同時用好“由因導果和執果索因”的證明嗎？

Answer 1

分析：（1）連接A₁C₁交B₁D₁于O₁，連接AO₁，通過證得四邊形AOC₁O₁為平行四邊形，得出C₁O∥AO₁ 后即可證明C₁O∥面AB₁D_1．
（2）根據四邊形A₁B₁C₁D₁為菱形，得出B₁D₁⊥A₁C₁，易證A₁A⊥B₁D₁，所以B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，從而證明平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A_1．
（3）過C作CH⊥AO₁交AO₁于H．CH⊥平面AB₁D₁ ．∠CAH是AC與平面AB₁D₁ 所成的角，在△CAH 中求解即可．

解答：證明：（1）連接A₁C₁交B₁D₁于O₁，連接AO₁．
在平行四邊形AA₁C₁C中，C₁O₁∥AO，，C₁O₁=AO，
∴四邊形AOC₁O₁為平行四邊形．∴C₁O∥AO₁ ．-----3分
又∵C₁O?面AB₁D₁ ，AO₁?面AB₁D₁ -------4分
∴C₁O∥面AB₁D₁---------------------------------------5分
（2）在直平行六面體AC1中，A₁A⊥平面A₁B₁C₁D₁
∴A₁A⊥B₁D₁，
∵四邊形A₁B₁C₁D₁為菱形，∴B₁D₁⊥A₁C₁．--------------------------------------------7分
∵A₁C₁∩AA₁=A₁，A₁C₁?平面ACC₁A₁，，--------------9分
∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁ ．
∵B₁D₁?平面AB₁D₁∴平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁ ．-------------------------------10分
（3）過C作CH⊥AO₁交AO₁于H．
∵平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁ ，平面AB₁D₁∩平面ACC₁A₁=AO₁ ，
∴CH⊥平面AB₁D₁ ．∴AH為AC在平面AB₁D₁ 上的射影．
∴∠CAH是AC與平面AB₁D₁ 所成的角．----------------11分
設AB=2，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴AC=2

3

．-------------------------------12分
在Rt△AA₁O₁中，AO₁=

7

∵AO₁•CH=AC•OO₁，∴CH=

4 21

7

∴sin∠CAH=

CH

AC

=

2 7

7

．---14分

點評：本題主要考查空間角，距離的計算，線面垂直，面面垂直的定義，性質、判定，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．