Question

在直平行六面體AC₁中，ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA₁．
（1）求證：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求證：平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求直線AC與平面AB₁D₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）連接A₁C₁交B₁D₁于O₁，連接AO₁；可以推得四邊形AOC₁O₁為平行四邊形；進而得到C₁O∥AO₁，再結合線面平行的判定即可證明結論．
（2）先根據直平行六面體AC₁中，A₁A⊥平面A₁B₁C₁D₁，得到A₁A⊥B₁D₁；再結合四邊形A₁B₁C₁D₁為菱形，得到B₁D₁⊥A₁C₁；即可得到平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）過C作CH⊥AO₁交AO₁于H，可得CH⊥平面AB₁D₁；進而得∠CAH是AC與平面AB₁D₁所成的角；然后通過求三角形的邊長即可求出結論．

解答：證明：（1）連接A₁C₁交B₁D₁于O₁，連接AO₁．
在平行四邊形AA₁C₁C中，C₁O₁∥AO，C₁O₁=AO，
∴四邊形AOC₁O₁為平行四邊形．
∴C₁O∥AO₁．（3分）
∵C₁O?平面AB₁D₁，AO₁?平面AB₁D₁，（4分）
∴C₁O∥平面AB₁D₁．（5分）
（2）在直平行六面體AC₁中，A₁A⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁A⊥B₁D₁．
∵四邊形A₁B₁C₁D₁為菱形，
∴B₁D₁⊥A₁C₁．（7分）
∵A₁C₁∩AA₁=A₁，A₁C₁?平面ACC₁A₁，AA₁?平面ACC₁A₁，（9分）
∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁．
∵B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁．（10分）
（3）過C作CH⊥AO₁交AO₁于H．
∵平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁，平面AB₁D₁∩平面ACC₁A₁=AO₁，
∴CH⊥平面AB₁D₁．
∴AH為AC在平面AB₁D₁上的射影．
∴∠CAH是AC與平面AB₁D₁所成的角．（11分）
設AB=2，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴AC=2

3

．（12分）
在Rt△AA₁O₁中，AO1=

7

．
∵AO₁•CH=AC•OO₁，
∴CH=

4 21

7

．∴sinCAH=

CH

AC

=

2 7

7

．（14分）

點評：本題主要考察線面平行以及面面垂直的證明，線面角的求法．一般在證明面面垂直時，先證明線線垂直，得到線面垂直，進而得到面面垂直．