Question

（2013•廣元二模）設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
①求證：數列{lga_n}是等差數列；
②設b_n=

3	(lgan)(lgan+1)

求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：①利用a_n與S_n的關系即可得到a_n，從而lgan+1-lgan=lg

an+1

an

=1，即可得到數列{lga_n}是以lga₁=lg10=1為首項，1為公差的等差數列；
②由①可得：lgan=lg10n=n，lga_n+1=n+1，bn=

3

n(n+1)

=3(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項求和即可得到T_n．

解答：解：①當n=1時，a₂=9S₁+10=9×10+10=100；
當n≥2時，由a_n+1=9S_n+10，a_n=9S_n-1+10，
可得a_n+1-a_n=9a_n，即a_n+1=10a_n，此式對于n=1時也成立．
∴數列{a_n}是以10為首項，10為公比的等比數列，
∴an=10×10n-1=10n．
∴lgan+1-lgan=lg

an+1

an

=1，
∴數列{lga_n}是以lga₁=lg10=1，為首項，1為公差的等差數列；
②由①可得：lgan=lg10n=n，lga_n+1=n+1，
∴bn=

3

n(n+1)

=3(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=3[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=3(1-

1

n+1

)=

3n

n+1

．

點評：熟練掌握a_n與S_n的關系、等差數列與等比數列的定義及其通項公式、裂項求和等是解題的關鍵．