Question

（2013•廣元二模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=4a1，則

1

m

+

4

n

的最小值為（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  5

  3

• C．

  9

  4

• D．

  25

  6

Answer 1

分析：由 a₇=a₆+2a₅ 求得q=2，代入

aman

=4a1求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：由各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足 a₇=a₆+2a₅，可得 a1q6=a1q5+2a1q4，∴q²-q-2=0，∴q=2．
∵

aman

=4a1，∴q^m+n-2=16，∴2^m+n-2=2⁴，∴m+n=6，
∴

1

m

+

4

n

=

1

6

(m+n)(

1

m

+

4

n

)=

1

6

(5+

n

m

+

4m

n

)≥

1

6

(5+4)=

3

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

n

m

=

4m

n

時(shí)，等號(hào)成立．
故

1

m

+

4

n

的最小值等于

3

2

，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．