Question

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓，（a＞b＞0）上的兩點，已知向量=（，），=（，），且，若橢圓的離心率，短軸長為2，O為坐標原點：
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；
（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意可求得b，進而根據離心率求得a和c，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設出直線AB的方程，與橢圓方程聯立消去y，表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用建立方程求得k．
（Ⅲ）先看當直線的斜率不存在時，可推斷出x₁=x₂，y₁=-y₂，根據=0求得x₁和y₁的關系式，代入橢圓的方程求得|x₁|和|y₁|求得三角形的面積；再看當直線斜率存在時，設出直線AB的方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用=0求得2b²-k²=4，最后利用弦長公式和三角形面積公式求得答案．
解答：解：（Ⅰ）2b=2．b=1，e=
橢圓的方程為
（Ⅱ）由題意，設AB的方程為y=kx+

由已知=0得：
=
，解得k=±
（Ⅲ）（1）當直線AB斜率不存時，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
由=0
又A（x₁，y₁）在橢圓上，所以
S=
所以三角形的面積為定值
（2）當直線AB斜率存在時，設AB的方程為y=kx+b
得到x₁+x₂=
代入整理得：
2b²-k²=4
=
所以三角形的面積為定值
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．設直線方程的時候，一定要考慮斜率不存在時的情況，以免有所遺漏．