Question

已知函數f(x)=

ax+b

x2+1

圖象在x=1處的切線方程為2y-1=0．
（Ⅰ） 求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若△ABC的三個頂點（B在A、C之間）在曲線y=f（x）+ln（x-1）（x＞1）上，試探究f(2sin2A+sin2C)與f(2sin2B)的大小關系，并說明理由；
（Ⅲ）證明：

1

12+1

+

2

22+1

+…+

n

n2+1

＞ln

n

2

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）先求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，求出極值即可；
（Ⅱ） 先設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）且x₁＜x₂＜x₃y=f（x）-ln（x-1）=

x

x2+1

+ln(x-1)（x＞1）利用志數證明得函數在（1，+∞）上單調遞增，由x₁＜x₂＜x₃得y₁＜y₂＜y₃，則

BA

•

BC

=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（y₁-y₂）（y₃-y₂）＜0，則B是鈍角，最后結合余弦定理和正弦定理得sin²A+sin²C＜sin²B．從而得到證明；
（Ⅲ）分兩步進行證明：第一步，當n=1時不等式成立；第二步，當n＞1時，構造函數g(x)=

x

x2+1

x∈[1，+∞），由（Ⅰ）得g（x）是[1，+∞）上的減函數，將區間[1，n]（n＞1）n-1等分，由定積分定義及幾何意義得到證明．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，由題意得f′(1)=0，f(1)=

1

2

，
則解得a=1，b=0…（2分）
由f′(x)=-

(x-1)(x+1)

(x2+1)2

得f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是減函數，在（-1，1）上是增函數，故f（x）的極小值=f(-1)=-

1

2

，f（x）的極大值=f(1)=

1

2

…（4分）
（Ⅱ） 證明：設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）且x₁＜x₂＜x₃y=f（x）-ln（x-1）=

x

x2+1

+ln(x-1)（x＞1）y'=

x4-x3+3x2+x

x(x2+1)2

＞0，函數在（1，+∞）上單調遞增，由x₁＜x₂＜x₃得y₁＜y₂＜y₃…（6分）
則

BA

•

BC

=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（y₁-y₂）（y₃-y₂）＜0，則B是鈍角
由余弦定理得

a2+c2-b2

2ac

=cosB＜0，即a²+c²＜b²，
由正弦定理得sin²A+sin²C＜sin²B．則2sin2B＞2sin2A+sin2C＞1，
又∵f（x）是（1，+∞）上的增函數，∴f(2sin2B)＞f(2sin2A+sin2C)…（9分）
（Ⅲ） 證明：當n=1時不等式成立，…（10分）
當n＞1時，構造函數g(x)=

x

x2+1

x∈[1，+∞），由（Ⅰ）得g（x）是[1，+∞）上的減函數，
將區間[1，n]（n＞1）n-1等分，由定積分定義及幾何意義得

n-1

k=1

1×g(k)＞∫limit

s

n 1

x

x2+1

dx

n

k=1

g(k)＞

1

2

ln(n2+1)-

1

2

ln2＞ln

n

2

…（14分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、不等式的解法、余弦定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．