Question

【題目】如圖四棱錐中，平面，，，，為線段上一點，，為的中點.

（1）證明平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取中點，連接，，由三角形的中位線定理可得，結合已知條件說明四邊形為平行四邊形，可得，由線面平行的判定定理可得結果；

（2）取的中點，連接，由得，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的法向量，求出即可得結果.

（1）證明：如圖，取中點，連接，，

∵為的中點，∴，且，

又，且，

∴，且，

∴四邊形為平行四邊形，則，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）取的中點，連接，由得，

且，

以為原點，的方向為軸的正方向，的方向為軸的正方向，的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

由題意知：，，，，

，，，

設為平面的法向量，則,

即，可取，

于是，

∴直線與平面所成角的正弦值為.