Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c在R上可導．
（1）若f（x）在區(qū)間[-1，2]上為減函數(shù)，且b=3a，求a的取值范圍；
（2）若f（x）的極大值點在（0，1）內(nèi)，極小值點在（1，2）內(nèi)，求

b-2

a-1

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）在區(qū)間[-1，2]上為減函數(shù)，可轉(zhuǎn)化成f'（x）≤0對x∈[-1，2]恒成立，借助二次函數(shù)的知識建立不等關(guān)系，可求出a的取值范圍．
（2）對函數(shù)f（x）求導，根據(jù)函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)有極大值，在（1，2）內(nèi)有極小值，轉(zhuǎn)化為f′（x）的圖象在區(qū)間（0，1）和（1，2）上與x軸各有一個交點，根據(jù)二次函數(shù)根的分布可建立關(guān)于a，b的三個不等關(guān)系，利用線性規(guī)劃即可求

b-2

a-1

的取值范圍．

解答：（1）∵當a≠0時，f′（x）=x²+ax+2b=x²+ax+6a，又f（x）在[-1，2]上為減函數(shù)，
∴f′（x）≤0對x∈[-1，2]恒成立，…（2分）
即x²+ax+6a≤0對x∈[-1，2]恒成立，
∴f′（-1）≤0且f′（2）≤0，…（4分）
即

1-a+6a≤0 4+2a+6a≤0

⇒

a≤- 1 5 a≤- 1 2

⇒a≤-

1

2

．…（6分）
（2）∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+2b，…（8分）
由題意得

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1+a+2b＜0 f′(2)=4+2a+2b＞0

畫出可行域：
于是

b-2

a-1

即為點P（1，2）與可行域內(nèi)（不包含邊界）任意一點的連線的斜率．
∴k_PC＜

b-2

a-1

＜k_PA，即

1

4

＜

b-2

a-1

＜1．…（13分）

點評：本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)，單調(diào)性，極值，不等式等基礎知識，考查綜合利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．