Question

已知圓O：x²+y²=8交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線(xiàn)C是以AB為長(zhǎng)軸，直線(xiàn)l：x=-4為準(zhǔn)線(xiàn)的橢圓．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若M是直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)，以O(shè)M為直徑的圓K與圓O相交于P，Q兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)PQ必過(guò)定點(diǎn)E，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳，B兩點(diǎn)是圓O：x²+y²=8與x軸的交點(diǎn)，所以坐標(biāo)可知，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)也就可知，a就能求出，再根據(jù)x=-4為橢圓準(zhǔn)線(xiàn)，得到c值，再用a，b，c的關(guān)系式求出b值即可．
（2）先根據(jù)M點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出以O(shè)M為直徑的圓K的方程，與圓O方程聯(lián)立，消去x²，y²，在判斷所得的直線(xiàn)方程是否過(guò)定點(diǎn)即可．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則：

a=2 2 a2 c =4

，從而：

a=2 2 c=2

，故b=2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)M（-4，m），則圓K方程為(x+2)2+(y-

m

2

)2=

m2

4

+4與圓O：x²+y²=8聯(lián)立消去x²，y²得PQ的方程為4x-my+8=0，過(guò)定點(diǎn)E（-2，0）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，以及圓與圓位置關(guān)系的判斷，屬于圓錐曲線(xiàn)與圓的綜合題．