Question

如圖，在圓錐PO中，已知PO=

2

，⊙OD的直徑AB=2，點C在

AB

上，且∠CAB=30°，D為AC的中點．
（Ⅰ）證明：AC⊥平面POD；
（Ⅱ）求直線OC和平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，根據直線與平面垂直的判定定理可證
（II）由（I）可證面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性質考慮在平面POD中過O作OH⊥PD于H，則OH⊥平面PAC，∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中，求解即可

解答：解（I）因為OA=OC，D是AC的中點，所以AC⊥OD
又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面內的兩條相交直線
所以AC⊥平面POD
（II）由（I）知，AC⊥平面POD，又AC?平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，過O作OH⊥PD于H，則OH⊥平面PAC
連接CH，則CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角
在Rt△ODA中，OD=DA．sin30°=

1

2

在Rt△POD中，OH=

PO•OD

PO2+OD2

=

2 × 1 2

2+ 1 4

=

2

3

在Rt△OHC中，sin∠OCH=

OH

OC

=

2

3

故直線OC和平面PAC所成的角的正弦值為

2

3

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理的應用，空間直線與平面所成角的求解，考查了運算推理的能力及空間想象的能力