Question

如圖，在圓錐PO中，已知PO=，⊙OD的直徑AB=2，點C在上，且∠CAB=30°，D為AC的中點．
（Ⅰ）證明：AC⊥平面POD；
（Ⅱ）求直線OC和平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

解（I）因為OA=OC，D是AC的中點，
所以AC⊥OD
又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面內的兩條相交直線
所以AC⊥平面POD
（II）由（I）知，AC⊥平面POD，又AC平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC 在平面POD中，
過O作OH⊥PD于H，則OH⊥平面PAC 連接CH，
則CH是OC在平面上的射影，
所以∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角在Rt△ODA中，OD=OA．sin30°= 
在Rt△POD中，OH=
在Rt△OHC中，故直線OC和平面PAC所成的角的正弦值為