Question

在公差為d的等差數列{a_n}中，已知a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比數列．
（1）求d，a_n；      
（2）若d＜0，求此數列前n項的和S_n的最大值．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得到(2a2+2)2=5a1a3，再由公差為d的等差數列{a_n}中，a₁=10，將等式用首項與公差表示出來即可解出公差，再求通項．
（Ⅱ）數列前n項的和S_n的最大值即所有正項的和，所以令a_n≥0，解出所有的正項，再求它們的和即可

解答： 解：（Ⅰ）由已知得到：(2a2+2)2=5a1a3⇒4(a1+d+1)2=50(a1+2d)⇒(11+d)2=25(5+d)⇒121+22d+d2=125+25d⇒d2-3d-4=0⇒

d=4 an=4n+6

或

d=-1 an=11-n

；
（Ⅱ）由（1）知，當d＜0時，a_n=11-n，a_n≥0⇒n≤11
故（S_n）_max=S₁₁=55．

點評：本題考查等差數列與等比數列的性質，數列前n項和的最大值的求法，所有正項的和最大，這是求和最大值的理論依據．