Question

若關于x的不等式（2x-1）²≤ax²的解集中的整數恰有2個，則實數a的取值范圍是

[

9

4

，

25

9

)

．

Answer 1

分析：由不等式可知a是大于0的，ax²≥（2x-1）²可變為ax²-（2x-1）²≥0，利用平方差分解因式得（

a

x+2x-1）（

a

x-2x+1）≥0，（

a

x+2x-1）與（

a

x-2x+1）同號得到a的解集，解集中的整數恰有2個，得到a的范圍即可．

解答：解：由題知，a＞0 則
ax²≥（2x-1）²
ax²-（2x-1）²≥0．
（

a

x+2x-1）（

a

x-2x+1）≥0
即[（

a

+2）x-1][（

a

-2）x+1]≥0
由于

a

+2＞0，而不等式的解答中恰有兩個整數解，故必有

a

-2＜0，即必有a＜4
所以不等式可變為[（

a

+2）x-1][（2-

a

）x-1]≤0
解得

1

2+ a

≤x≤

1

2- a

，
又

1

2+ a

＜1，結合解集中恰有兩個整數可得

1

2- a

≥2且

1

2- a

＜3，
所以有2-

a

≤

1

2

且2-

a

＞

1

3

，
解得

25

9

＞a≥

9

4

，
所以a∈[

9

4

，

25

9

)．
故答案為：[

9

4

，

25

9

)

點評：本題主要考查學生解一元二次不等式，運用等價轉化的能力．屬于中檔題．