Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且．給出下列結(jié)論：；②f（x）為奇函數(shù)；③f（x）為周期函數(shù)；④f（x）在（0，x）內(nèi)單調(diào)遞減．其中正確的結(jié)論序號是

1. A.
   ②③
2. B.
   ②④
3. C.
   ①③
4. D.
   ①④

Answer 1

A
分析：令x=y=可求出f（）的值，得知①不對排除CD．由x=可知f（x）在（0，x）內(nèi)單不是調(diào)遞減排除B．
解答：令x=y=，根據(jù)f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且．
∴∴故①不對
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy
令x=0，則
f（y）+f（-y）=f（0）cosy=0
f（-y）=-f（y）
所以f（x）是奇函數(shù) 故②對．
令x=，由f（0）=0，f（）=1知④不對
故選A．
點評：本題主要考查抽象函數(shù)的有關(guān)問題．抽象函數(shù)值、單調(diào)性、周期性、奇偶性經(jīng)常是考查重點．