Question

函數f（x）=

7

3

x3-

a+13

2

x2+(a2-a-2)x，在x₁，x₂處有極值f（x₁），f（x₂），其中x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．
（Ⅰ）證明：f（x₁）為f（x）的極大值，f（x₂）為f（x）的極小值；
（Ⅱ）求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導函數，然后根據f（x）在x₁，x₂處有極值f（x₁），f（x₂）則f'（x₁）=f'（x₂）=0，然后判斷在x₁，x₂處左右的導數符號，從而證得結論；
（Ⅱ）根據根的分布可得

f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0

，從而可求出實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f'（x）=7x²-（a+13）x+a²-a-2…（2分）
又f（x）在x₁，x₂處有極值f（x₁），f（x₂）⇒f'（x₁）=f'（x₂）=0
可得  f'（x）=7（x-x₁）（x-x₂）…（4分）
又x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）
∴當x∈（0，x₁）或x∈（x₂，2）時，f'（x）＞0；當x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0，即

	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，2）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值f（x1）	↘	極小值f（x2）	↗

所以f（x₁）為f（x）的極大值，f（x₂）為f（x）的極小值．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）∵x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）∴

f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0

…（9分）
⇒

a＞2或a＜-1 -2＜a＜4 a＞3或a＜0

…（12分）
∴a的取值范圍{a|-2＜a＜-1，3＜a＜4}．…（13分）

點評：本題主要考查函數取極值的條件，以及根的分布問題，同時考查了分析問題的能力和運算求解的能力，屬于中檔題．