Question

已知函數f（x）=

1

3

x3+ax²+bx，a，b∈R
（1）曲線C：y=f（x）經過點P（1，2），且曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，求a，b的值；
（2）在（1）的條件下試求函數g（x）=m[f（x）-

7

3

x]（m∈R，m≠0）的極小值．

Answer 1

分析：（1）y=f（x）經過點P（1，2），則點P的坐標適合函數解析式，再根據曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，可知f^′（1）=2，聯立后可求解a，b的值；
（2）把（1）中求得的a，b代入函數解析式，再把f（x）代入g（x）后求導函數，分類討論m后，根據導函數在不同區間內的符號判斷單調性，從而求出函數的極小值．

解答：解：（1）由f（x）=

1

3

x3+ax²+bx，得：f^′（x）=x²+2ax+b，
因為y=f（x）經過點P（1，2），且曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，
所以，

f(1)= 1 3 +a+b=2 f′(1)=1+2a+b=2

，解得：

a=- 2 3 b= 7 3

．
所以a=-

2

3

，b=

7

3

．
（Ⅱ）由（1）知f(x)=

1

3

x3-

2

3

x2+

7

3

x，
則g（x）=m[

1

3

x3-

2

3

x2+

7

3

x-

7

3

x]
=

m

3

(x3-2x2)．
g′(x)=mx(x-

4

3

)，
當m＞0時，g^′（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上大于0，在（0，

4

3

）上小于0，
所以，g（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上遞增，在（0，

4

3

）上遞減，
所以g（x）的極小值為g（

4

3

）=

m

3

[(

4

3

)3-2×(

4

3

)2]=-

32

81

m；
當m＜0時，g^′（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上小于0，在（0，

4

3

）上大于0，
g（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上遞減，在（0，

4

3

）上遞增，
所以g（x）的極小值為g（0）=0．

點評：本題主要考查函數、導數知識及其應用，考查運算求解能力及抽象概括能力，考查函數與方程、分類與整合、數形結合、化歸與轉化等思想方法，此題是中檔題．