Question

已知曲線f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）與直線x=1交于點P，若設曲線y=f（x）在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為x_n，則log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011的值為

-1

．

Answer 1

分析：由f′（x）=（n+1）xⁿ，知k=f′（x）=n+1，故點P（1，1）處的切線方程為：y-1=（n+1）（x-1），令y=0，得xn=

n

n+1

，由此能求出log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011的值

解答：解：f′（x）=（n+1）xⁿ，
k=f′（x）=n+1，
點P（1，1）處的切線方程為：y-1=（n+1）（x-1），
令y=0得，x=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
即xn=

n

n+1

，
∴x₁×x₂×…×x₂₀₁₁=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2010

2011

×

2011

2012

=

1

2012

，
則log₂₀₁₂x₁+log₂₀₁₂x₂+…+log₂₀₁₂x₂₀₁₁
=log₂₀₁₂（x₁×x₂×…×x₂₀₁₁）
=log2012

1

2012

=-1．
故答案為-1

點評：本題考查利用導數求曲線上某點的切線方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的靈活運用．