Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+5，若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3，且當x=

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時，y=f（x）有極值．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）求函數的導數，利用函數f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3，得到f'（1）=3，利用條件當x=

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時，y=f（x）有極值，得到f'（

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）=0，聯立方程可求a，b．
（2）利用函數的導數和最大值之間的關系，求函數的最大值和最小值即可．

解答：解：∵f（x）=x³+ax²+bx+5，∴f'（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3，
∴f'（1）=3，即f'（1）=3+2a+b=3，∴2a+b=0．①
∵x=

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時，y=f（x）有極值．
∴f'（

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）=0，即f'（

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）=3×(

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)2+2a×

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3

+b=0，∴4a+3b=-4  ②
由①②解得a=2，b=-4．
∴f（x）=x³+ax²+bx+5=x³+2x²-4x+5．
（2）∵f'（x）=3x²+4x-4，
∴由f'（x）=0，解得x=-2或x=

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，
當x在[-4，1]上變化時，f'（x）和f（x）的變化如下：

x	-4	（-4，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1）	1
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-11	單調遞增	極大值f（-2）=13	單調遞減	極小值f（ 2 3 ）= 95 27	單調遞增	4

∴由表格可知當x=-4時，函數f（x）取得最小值f（-4）=-11，
在x=-2時，函數取得極大值同時也是最大值f（-2）=13．
故函數f（x）在[-4，1]上的最大值為13和最小值為-11．

點評：本題主要考查導數的應用，利用導數的幾何意義和導數和極值最值之間的關系研究函數的性質，考查學生的運算能力，綜合性較強．