Question

（Ⅰ）求證：數列{x_n}是等比數列；
（Ⅱ）設滿足
 
y_s=,y_t=（s,t∈N，且s≠t）共中a為常數，且1<a<,試判斷，是否存在自然
數M，使當n>M時，x_n>1恒成立？若存在，求出相應的M；若不存在，請說明理由

Answer 1

（Ⅱ）答案是肯定的，即存在自然數M，使當n>M時，x_n>1恒成立

（1）∵點，都在斜率為k的直線上
∴=k，即=k，………………………………………(1分)
故  (k－1)x_n+1=kx_n
∵k≠0,x_n+1≠1,x_n≠1，………………………………………(3分)
∴==常數，∴{x_n}是公比為的等比數列。…………(4分)
（2）答案是肯定的，即存在自然數M，使當n>M時，x_n>1恒成立。………(5分)
事實上，由1<a<，得0<2a²－3a+1<1…………………………………(6分)
∵y_n=log (2a²－3a+1)，
∴= logx_n………………………………………(8分)
由（1）得{x_n}是等比數列，設公比為q>0首項為x₁，則x_n=x₁·q^n－1(n∈N)
∴=(n－1) logq+logx₁
令d=logq，故得{}是以d為公差的等差數列。
又∵=2t+1,=2s+1，
∴－=2(t－s)
即(s－1)d－(t－1)d=2(t－s)，
∴d=－2………………………………………(10分)
故=+（n－s）(－2)=2（t+s）－2n+1（n∈N）
又∵x_n=(2a²－3a+1)  （n∈N）
∴要使x_n>1恒成立，即須<0………………………………………(12分)
∴2(t+s)－2n+1<0，∴n>(t+s)+，當M=t+s，n>M時，我們有<0恒成立，
∴當n>M=(t+s)時，>1恒成立。（∵0<2a²－3a+1<1）……(14分)