Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點，
(Ⅰ)求證：AB₁⊥平面A₁BD；
(Ⅱ)求二面角A-A₁D-B的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）取BC中點O，連結AO， ∵△ABC為正三角形， ∴AO⊥BC， ∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， ∴AO⊥平面BCC1B1， 連結B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分別為BC、CC1的中點， ∴B1O⊥BD， ∴AB1⊥BD， 在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B， ∴AB1⊥平面A1BD。 (Ⅱ)設AB1與A1B交于點C， 在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，連結AF， 由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD， ∴∠AFG為二面角A-A1B-B的平面角， 在△AA1D中，由等面積法可求得AF=， 又∵AG=， ∴， 所以二面角A-A1D-B的大小為arcsin。