Question

已知下面的數列和遞推關系：
（1）數列{a_n}（a_n=n）有遞推關系a_n+2=2a_n+1-a_n；
（2）{b_n}（b_n=n²）有遞推關系b_n+3=3b_n+2-3b_n+1+b_n；
（3））{c_n}（c_n=n³）有遞推關系c_n+4=4c_n+3-6c_n+2+4c_n+1-c_n；
試猜想：數列{d_n}（d_n=n⁴）的類似的遞推關系

d_n+5=5d_n+4-10d_n+3+10d_n+2-5d_n+1+d_n

．

Answer 1

分析：將已知條件中的三個式子都化成右邊等于0的等式，進行觀察得到數列{x_n}（x_n=n^k）的遞推關系：Ck+10(-1)0xn+k+1+Ck+11(-1)1xn+k+Ck+12(-1)2xn+k-1+…+Ck+1k+1(-1)k+1xn=0，再取k=4代入，即可得到數列{d_n}（d_n=n⁴）的類似的遞推關系式．

解答：解：根據已知條件的（1），移項得：a_n+2-2a_n+1+a_n=0…①，
再根據已知條件的（2），移項得b_n+3-3b_n+2+3b_n+1-b_n=0…②，
同理根據已知條件的（3），移項得c_n+4-4c_n+3+6c_n+2-4c_n+1+c_n…③，
由此，歸納出第k個式子，數列{x_n}（x_n=n^k）的遞推關系：
Ck+10(-1)0xn+k+1+Ck+11(-1)1xn+k+Ck+12(-1)2xn+k-1+…+Ck+1k+1(-1)k+1xn=0，
當k=4時，得到：C50(-1)0xn+5+C51(-1)1xn+4+C52(-1)2xn+3+C53(-1)3xn+2+C54(-1)4xn+1+C55(-1)5xn=0
即x_n+5-5x_n+4+10x_n+3-10x_n+2+5x_n+1-x_n=0，得到x_n+5=5x_n+4-10x_n+3+10x_n+2-5x_n+1+x_n．
∴數列{d_n}（d_n=n⁴）的類似的遞推關系為：d_n+5=5d_n+4-10d_n+3+10d_n+2-5d_n+1+d_n
故答案為：d_n+5=5d_n+4-10d_n+3+10d_n+2-5d_n+1+d_n

點評：本題根據數列數列{x_n}（x_n=n^k）前3個式子，歸納出它的遞推關系式，從而得到當k=4時類似的遞推關系式，著重考查了二項式系數的性質和進行簡單的合情推理等知識點，屬于中檔題．