Question

（本小題滿分14分）

    已知橢圓的離心率為其左、右焦點分別為，點P是坐標平面內一點，且（O為坐標原點）。

   （1）求橢圓C的方程；

   （2）過點且斜率為k的動直線交橢圓于A、B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）設

則由                                 _1分

由得              _2分

即

所以c=1                                                                                               3分

又因為                                                    5分

因此所求橢圓的方程為：                                                 6分

   （2）動直線的方程為：

由得                  _8分

設

則                                    9分

假設在y上存在定點M（0，m），滿足題設，則

 _11分

由假設得對于任意的恒成立，

即解得m=1。                                 13分

因此，在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，

點M的坐標為（0，1）                                                                            14分

（另解  令K＝0 代入 得m＝1  或m＝，把其都代入。其中m＝1時恒成立；m＝時不恒成立。因此，在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點， 點M的坐標為（0，1）                                 ）