Question

已知拋物線和雙曲線都經過點M（1，2），它們在x軸上有共同焦點，雙曲線的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點
 （1）求這兩條曲線的方程；
 （2）直線l過軸上定點N（異于原點），與拋物線交于A、B兩點且以AB為直徑的圓過原點，試求出定點N的坐標。

Answer 1

解：（1）設拋物線方程為
將代入得p=2
∴拋物線方程為，焦點為
由題意知雙曲線的焦點為
∴
對于雙曲線，
∴，，
∴雙曲線方程為：
（2）設l方程為
聯立得
設
則
∴
∵以AB為直徑的圓過原點
∴
∴
∴
∴N的坐標為（4，0）。