Question

判斷函數f（x）=x²+2x在（-1，+∞）的單調性，并用函數單調性的定義給出證明．

Answer 1

分析：利用定義判斷函數的單調性，先設在所給區間上有任意兩個自變量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比較f（x₁）與
f（x₂）的大小，做差后，應把差分解為幾個因式的乘積的形式，通過判斷每一個因式的正負，來判斷積的正負，最后的出結論．

解答：解：函數f（x）為增函數，
證明如下：設x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁²+2x₁-（x₂²+2x₂）=x₁²-x₂²+（2x₁-2x₂）
=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）
∵x₁，x₂，∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂+2＞0
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）
∴函數f（x）在（-1，+∞）上為增函數．

點評：本題主要考查了定義法證明函數的單調性，做題時應該嚴格按照步驟去做．