Question

如圖，在長方體中，

，點在棱上移動 

 （Ⅰ）證明：；

 （Ⅱ）當為的中點時，求點到面的距離；

 （Ⅲ）等于何值時，二面角的大小為 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】本小題主要考查向量語言表述線線的垂直、平行關系、點到平面的距離和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．

（1）建立如圖的坐標系，則

DA1

=(1，0，1)，設E（1，t，0），則

D1E

=(1，t，-1)，通過向量的數量積為0，計算可得D₁E⊥A₁D；

（2）當E為AB的中點時，E（1，1，0），

D1E

=(1，1，-1)，求出平面ACD₁的一個法向量，最后利用點到面的距離公式即可求點E到面ACD₁的距離．

（3）（2）連接DE，根據等腰直角三角形的性質，及線面垂直的判定和性質，可得DE⊥EC，D₁E⊥EC，進而由∠D₁ED即為二面角D₁-EC-D的平面角，解三角形D₁ED即可得到二面角D₁-EC-D的大小；

解：以為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則

（Ⅰ）        ………4分

（Ⅱ）因為為的中點，則，從而，

，設平面的法向量為，則

也即，得，從而，所以點到平面的距離為            ………8分

（Ⅲ）設平面的法向量，

  ∴

由  令，

∴

依題意

∴（不合，舍去），  

∴時，二面角的大小為        ………12分