Question

在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為“格點”，如果函數f（x）的圖象恰好通過k（k∈N^*）個格點，則稱函數f（x）為“k階格點函數”．下列函數中是“一階格點函數”的有

 

①f（x）=|x|；②f(x)=

2

(x-1)2+3；③f(x)=(

1

2

)x-2；④f(x)=log

1

2

(x+1)  ⑤f(x)=

1

x-1

．

Answer 1

分析：由定義對四個函數逐一驗證，找出只有一個整數點的函數即可，①中f（k）=k（k∈N^*）；②中的函數只有當x=1時才是格點；③中的函數可以驗證橫坐標為1，2時，f（x）均為整數，④中的函數驗證x=0，x=1時，取到整點；⑤中的函數驗證x=0，x=2即可排除．

解答：解：①中，∵當x=k時，f（k）=k（k∈N^*），
∴f（x）=|x|不為“一階格點”函數，故①錯誤；
②中，∵x=1時，f（x）=3．當x≠0，x∈Z時，f（x）均為非整數，
故f（x）=

2

（x-1）²+3只有（1，3）一個格點，
故函數為“一階格點”函數，故②正確；
③中，∵x=1時，f（x）=2，x=2時，f（x）=1，
故f(x)=(

1

2

)x-2不為“一階格點”函數，故③錯誤；
④中，∵x=0時，f（x）=0，
當x=1，時，f（x）=-1，
故f(x)=log

1

2

(x+1) 不為“一階格點”函數，故④錯誤；
⑤中，∵x=0時，f（x）=-1，
當x=2，時，f（x）=1，
故f(x)=

1

x-1

不為“一階格點”函數，故⑤錯誤．
故答案為：②．

點評：這是一道新運算類的題目，其特點一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據新運算的定義，將已知中的數據代入進行運算，易得最終結果．