Question

已知定義在R⁺上的函數f（x）滿足下列條件：①對定義域內任意x，y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）；②當x＞1時f（x）＜0；③f（2）=-1
（1）求f（8）的值；
（2）求證：函數f（x）在（0，+∞）上為減函數；
（3）解不等式：f（2^x+2）-f（2^x-4）＜-3．

Answer 1

解：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=2，可得f（4）=f（2）+f（2）=-2，
令x=2，y=4可得，f（8）=f（2）+f（4）=-3，
則f（8）=-3；
（2）設0＜x₁＜x₂＜+∞，則＞1，則f（）＜0，
f（x₂）-f（x₁）=f（•x₁）-f（x₁）=f（）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），
則f（x）在（0，+∞）為減函數，
（3）f（2^x+2）-f（2^x-4）＜-3，即f（2^x+2）-f（2^x-4）＜f（8），
f（2^x+2）＜f（2^x-4）+f（8）=f[8•（2^x-4）]，
又由f（x）在（0，+∞）為減函數，
∴解得：2＜x＜3
故2＜x＜3．
分析：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=2，可得f（4）的值，再令x=2，y=4可得，f（8）的值；
（2）用作差法證明，設0＜x₁＜x₂＜+∞，則＞1，結合題意可得f（）＜0，f（x₂）-f（x₁）=f（•x₁）-f（x₁）=f（），即可得證明；
（3）由（1）可得f（8）=-3，進而可將f（2^x+2）-f（2^x-4）＜-3，變形為f（2^x+2）＜f[8•（2^x-4）]，又由f（x）在（0，+∞）為減函數，可得關于x的不等式組，解可得答案．
點評：本題考查抽象函數的應用，涉及函數單調性的判斷，其中熟練掌握函數性質的定義及判斷方法是解答本題的關鍵．