Question

【題目】已知函數f(x)＝ex＋ax2－e2x.

(1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線平行于x軸，求函數f(x)的單調區間；

(2)若x>0時，總有f(x)>－e2x，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) f(x)在(－∞，2)上單調遞減；f(x)在(2，＋∞)上單調遞增；(2)

【解析】試題分析：

(1)由導函數與斜率的關系可得,則函數f(x)在(－∞，2)上單調遞減；f(x)在(2，＋∞)上單調遞增；

(2)分離系數后構造新函數，結合新函數的特征可得 實數a的取值范圍是.

試題解析：

(1)由f′(x)＝ex＋2ax－e2，得

y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線斜率k＝4a＝0，則a＝0.

此時f(x)＝ex－e2x，f′(x)＝ex－e2.

由f′(x)＝0，得x＝2.

當x∈(－∞，2)時，f′(x)<0，f(x)在(－∞，2)上單調遞減；

當x∈(2，＋∞)時， f′(x)>0，f(x)在(2，＋∞)上單調遞增．

(2)由f(x)>－e2x，得a>－.設g(x)＝－，x>0，則g′(x)＝.

∴當0<x<2時，g′(x)>0，g(x)在(0,2)上單調遞增；

當x>2時，g′(x)<0，g(x)在(2，＋∞)上單調遞減．

∴g(x)≤g(2)＝－.因此實數a的取值范圍為.