Question

【題目】給定橢圓，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴橢圓”，若橢圓右焦點坐標為，且過點.

（1）求橢圓的“伴橢圓”方程；

（2）在橢圓的“伴橢圓”上取一點，過該點作橢圓的兩條切線、，證明：兩線垂直；

（3）在雙曲線上找一點作橢圓的兩條切線，分別交于切點、使得，求滿足條件的所有點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）或或或.

【解析】

(1) 利用和聯(lián)立解方程可得;

(2) 設(shè)切線方程為:,代入橢圓的方程,利用判別式等于0,可得關(guān)于斜率的一元二次方程,利用韋達定理可得斜率之積為,從而可證兩條切線垂直;

(3) 設(shè)經(jīng)過點與橢圓相切的直線為:,代入橢圓的方程,利用判別式為0, 可得關(guān)于斜率的一元二次方程,然后根據(jù)斜率之積為可得點的軌跡方程為,最后聯(lián)立此方程與雙曲線方程可解得的坐標即可.

(1)依題意可得,,所以,①

又橢圓過點,所以 ②

由①②可得,

橢圓的“伴橢圓”方程為:.

(2)由(1)可得橢圓,

設(shè)切線方程為:,將其代入橢圓,消去并整理得:

,

由,

得,

設(shè),的斜率為,則,

所以兩條切線垂直.

(3)當兩條切線的斜率存在時,設(shè)經(jīng)過點與橢圓相切的直線為:,

則

消去并整理得,,

所以,

經(jīng)過化簡得到:,

設(shè)兩條切線的斜率分別為,

則,

因為,所以,所以,

所以,

所以,

當兩條切線的斜率不存在時,也滿足,

所以的軌跡為橢圓的”伴隨圓”,其方程為:,

聯(lián)立,解得,

所以或或或,

所以滿足條件的所有點的坐標為: 或或或.