Question

過點M（0，4）且斜率為-1的直線l交拋物線y²=2px（p＞0）于A，B兩點，若AO⊥BO，求拋物線方程．

Answer 1

【答案】分析：根據題意可求得直線的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理可表示出x₁x₂和x₁+x₂，進而利用直線方程表示出y₁y₂，進而根據AO⊥BO，推斷出x₁x₂+y₁y₂=0，則p的值可得，進而求得拋物線的方程．
解答：解：依題意可求得直線l的方程為y+x-4，
代入拋物線方程得 x²-（8+2p）x+16=0，
由韋達定理得x₁x₂=16，x₁+x₂=2p+8
∴y₁y₂=（-x₁+4）（-x₂+4）=-8p．
∵AO⊥BO，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴p=2，
∴拋物線C為：y²=4x．
點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質．直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了基本的分析問題的能力和基礎的運算能力．