Question

已知F1，F2分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦點，若橢圓的右準線上存在一點P，使得線段PF₁的垂直平分線過點F₂，則離心率的范圍是

 

．

Answer 1

分析：設點P（

a2

c

，m），則由中點公式可得線段PF₁的中點K的坐標，根據 線段PF₁的斜率與 KF2的斜率之積等于-1，求出 m² 的解析式，再利用 m²≥0，得到3e⁴+2e²-1≥0，求得 e 的范圍，再結合橢圓離心率的范圍進一步e 的范圍．

解答：解：由題意得  F1（-c，0）），F2 （c，0），設點P（

a2

c

，m），則由中點公式可得線段PF₁的中點
K（

a2-c2

2c

，

m

2

 ），∴線段PF₁的斜率與 KF₂的斜率之積等于-1，∴

m-0

a2 c +c

•

m 2 -0

a2-c2 2c -c

=-1，
∴m²=-（

a2

c

+c）•（

a2

c

-3c）≥0，∴a⁴-2a²c²-3 c⁴≤0，
∴3e⁴+2e²-1≥0，∴e²≥

1

3

，或 e²≤-1（舍去），∴e≥

3

3

．
又橢圓的離心力率  0＜e＜1，故  

3

3

≤e＜1，故答案為[

3

3

，1）．

點評：本題考查線段的中點公式，兩直線垂直的性質，以及橢圓的簡單性質的應用，屬于中檔題．