Question

已知函數f（x）=2mx²-（8-2m）x+1，g（x）=mx，對?x∈R，f（x）與g（x）的值至少有一個為正數，則m的取值范圍是

（0，8）

．

Answer 1

分析：當m≤0時，顯然不成立；當m＞0時，g（x）=mx＜0，因為f（0）=1＞0，所以僅對對稱軸進行討論即可．

解答：解：當m≤0時，當x＞0時，g（x）=mx＜0，
又二次函數f（x）=2mx²-（8-2m）x+1開口向下，當x→+∞時，f（x）=2mx²-（8-2m）x+1＜0，故當m≤0時不成立；
當m=0時，因f（0）=1＞0，符合題意
當m＞0時，
若-

b

2a

=

4-m

2m

≥0，即0＜m≤4時結論顯然成立；
若-

b

2a

=

4-m

2m

＜0，時只要△=4（4-m）²-8m=4（m-8）（m-2）＜0即可，即4＜m＜8，
則0＜m＜8．
故答案為：（0，8）．

點評：本題主要考查對一元二次函數圖象的理解．對于一元二次不等式，一定要注意其開口方向、對稱軸和判別式．