Question

把正偶數數列{2n}中的數按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數表：
設a_ij（i，j∈N*）是位于這個三角形數表中從上往下數第i行、從左往右數第j個數．
（1）若a_mn=2008（已知45×46=2070，44×45=1980），求m，n的值；
（2）若記三角形數表中從上往下數第n行各數的和為b_n，已知，（n∈N^*）求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題義正偶數a_n為等差數列，由圖擺放找每一行所放的數，及每一行的數字總數與本數列的每一項的關系即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，使得a_mn=2008的m是不等式m（m+1）≥2008的最小正整數解．
（II）若將n²+n看成第n行第一個數，則第n行各數成公差為-2的等差數列，求出b_n，從而求出c_n，根據通項公式的特點，最后利用錯位相消法求出數列{c_n}的前n項和S_n．
解答：解：（I）∵三角形數表中前m行共有個數，
∴第m行最后一個數應當是所給偶數數列中的第項．
故第m行最后一個數是（2分）
因此，使得a_mn=2008的m是不等式m（m+1）≥2008的最小正整數解．
∵f（x）=x²+x在（0，+∞）上是增函數，又∵45×46＞2008＞44×45∴m=45
于是，第45行第一個數是44²+44+2=1982∴n= （5分）
（II）∵第n行最后一個數是n²+n，且有n個數，若將n²+n看成第n行第一個數，
則第n行各數成公差為-2的等差數列，故．
∴（6分）
故
∵=，
兩式相減得：=
∴（8分）
點評：此題重點考查了等差數列的通項公式，任意兩項之間及項與項數之間的關系，以及錯位相減法進行求和，另外還考查了學生的觀察與分析能力，屬于中檔題．