Question

已知
（1）若|-|²，求f（x）的表達式．
（2）若函數f（x）和函數g（x）的圖象關于原點對稱，求g（x）的解析式．
（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據，可求得=（-2cosx，2sin-2cos），=4cos²x+4-4sinx，從而可求得f（x）的表達式；
（2）函數y=f（x）的圖象上任一點M（x，y），它關于原點的對稱點為N（x，y），x=-x，y=-y，利用點M在函數y=f（x）的圖象上，將其坐標代入y=f（x）的表達式即可；
（3）可令t=sinx，將h（x）=g（x）-λf（x）+1在轉化為：h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1），對t²的系數-（1+λ）分類討論，利用一次函數（λ=-1）與二次函數（λ≠-1）的性質討論解決即可．
解答：解（1）：，
=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx
（2）：設函數y=f（x）的圖象上任一點M（x，y）
關于原點的對稱點為N（x，y）
則x=-x，y=-y，
∵點M在函數y=f（x）的圖象上
∴-y=sin²（-x）+2sin（-x），即y=-sin²x+2sinx
∴函數g（x）的解析式為g（x）=-sin²x+2sinx
（3）∵h（x）=-（1+λ）sin²x+2（1-λ）sinx+1，
設sinx=t，
∵x∈
∴-1≤t≤1，
則有h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）．
①當λ=-1時，h（t）=4t+1在[-1，1]上是增函數，∴λ=-1，
②當λ≠-1時，對稱軸方程為直線
ⅰ） λ＜-1時，，解得λ＜-1
ⅱ）當λ＞-1時，，解得-1＜λ≤0綜上，λ≤0．
點評：本題考查三角函數的化簡求值，二次函數的性質，難點在于通過三角換元得到“h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）”后，對t²的系數-（1+λ）分類討論，也是易錯點，屬于難題．