Question

已知
（1）若|-|²，求f（x）的表達(dá)式．
（2）若函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，求g（x）的解析式．
（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，可求得=（-2cosx，2sin-2cos），=4cos²x+4-4sinx，從而可求得f（x）的表達(dá)式；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象上任一點(diǎn)M（x，y），它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為N（x，y），x=-x，y=-y，利用點(diǎn)M在函數(shù)y=f（x）的圖象上，將其坐標(biāo)代入y=f（x）的表達(dá)式即可；
（3）可令t=sinx，將h（x）=g（x）-λf（x）+1在轉(zhuǎn)化為：h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1），對t²的系數(shù)-（1+λ）分類討論，利用一次函數(shù)（λ=-1）與二次函數(shù)（λ≠-1）的性質(zhì)討論解決即可．
解答：解（1）：，
=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx
（2）：設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上任一點(diǎn)M（x，y）
關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為N（x，y）
則x=-x，y=-y，
∵點(diǎn)M在函數(shù)y=f（x）的圖象上
∴-y=sin²（-x）+2sin（-x），即y=-sin²x+2sinx
∴函數(shù)g（x）的解析式為g（x）=-sin²x+2sinx
（3）∵h(yuǎn)（x）=-（1+λ）sin²x+2（1-λ）sinx+1，
設(shè)sinx=t，
∵x∈
∴-1≤t≤1，
則有h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）．
①當(dāng)λ=-1時(shí)，h（t）=4t+1在[-1，1]上是增函數(shù)，∴λ=-1，
②當(dāng)λ≠-1時(shí)，對稱軸方程為直線
ⅰ） λ＜-1時(shí)，，解得λ＜-1
ⅱ）當(dāng)λ＞-1時(shí)，，解得-1＜λ≤0綜上，λ≤0．
點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，二次函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于通過三角換元得到“h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）”后，對t²的系數(shù)-（1+λ）分類討論，也是易錯(cuò)點(diǎn)，屬于難題．