Question

已知函數．
（1）求f（t）的值域G；
（2）若對于G內的所有實數x，函數g（x）=x²-2x-m²有最小值-2，求實數m的值．

Answer 1

解：（1）∵f（t）=log₂t在t∈[，8]上是單調遞增的，∴log₂ ≤log₂t≤log₂8．
即≤f（t）≤3．∴f（t）的值域G為[，3]．------（7分）
（2）函數g（x）=x²-2x-m² =（x-1）²-1-m²，
∴當x=1時，函數g（x）有最小值-1-m²=-2，解得m=±1．
分析：（1）利用對數函數的單調性求得log₂ ≤log₂t≤log₂8，由此求得f（t）的值域G．
（2）函數g（x）=x²-2x-m² =（x-1）²-1-m²，根據二次函數的性質以及它在閉區間上的最小值為2，求得實數m的值．
點評：本題主要考查二次函數在閉區間上的最值，利用對數函數的單調性求值域的方法，屬于中檔題．