Question

如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連接FB、FC．
（1）求證：FB=FC；
（2）求證：FB²=FA•FD；

Answer 1

【答案】分析：（I）根據角平分線得到兩個角相等，根據圓內接四邊形得到四邊形的一個外角等于不相鄰的一個內角，得到兩個角相等，根據同弧所對的圓周角相等和對頂角相等，根據等量代換得到∠FBC=∠FCB，三角形是一個等腰三角形，得到兩邊相等．
（II）根據兩個三角形對應角相等，得到兩個三角形相似，根據相似三角形對應邊成比例，得到比例式，不比例式化成乘積式，得到結果．
解答：解：（Ⅰ）∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC．
∵四邊形AFBC內接于圓，
∴∠DAC=∠FBC．
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC．
（Ⅱ）∵∠FAB=∠FCB=∠FBC，∠AFB=∠BFD，
∴△FBA∽△FDB．
∴，
∴FB²=FA•FD．
點評：本題考查圓內接四邊形的性質，考查相似三角形的判定和性質，考查圓周角定理，考查對頂角相等，是一個基礎題．