Question

下列命題中：
①集合{x|1+x＜4，x∈N}是有限集，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集；
②函數y=log_x-1|x|的定義域為（1，+∞）；
③函數y=lg

1+x

1-x

是奇函數；
④若方程（lgx）²-（lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的兩根為x₁、x₂，則x₁x₂=6
正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①集合{x|1+x＜4，x∈N}是有限集，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集；由集合的定義判斷；
②函數y=log_x-1|x|的定義域為（1，+∞）；由對數函數的定義判斷；
③函數y=lg

1+x

1-x

是奇函數；由函數的性質判斷；
④若方程（lgx）²-（lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的兩根為x₁、x₂，則x₁x₂=6，由二次函數的根系關系判斷

解答：解：①集合{x|1+x＜4，x∈N}是有限集，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集，此是一個正確命題，集合{x|1+x＜4，x∈N}有三個元素，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集；
②函數y=log_x-1|x|的定義域為（1，+∞），由對數函數的定義知

|x|≠0 x-1＞0 x-1≠1

解得x＞1且x≠2，故此命題不正確；
③函數y=lg

1+x

1-x

是奇函數，此是一個正確命題，令f(x)=lg

1+x

1-x

，則f(-x)=lg

1-x

1+x

=lg

1+x

1-x

=-f(x)，故函數是奇函數；
④若方程（lgx）²-（lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的兩根為x₁、x₂，則x₁x₂=6，此命題正確，因為方程的兩根為x₁、x₂，則必有lgx₁+lgx₂=lg2+lg3，即有x₁x₂=6
綜上得正確命題的序號為①③④
故答案為①③④

點評：本題考查對數函數的定義域，解答本題關鍵是正確理解對數的定義以及奇函數的定義等，本題是一個判斷正誤型的題涉及知識點較多，知識性強，需要有較寬廣的知識面．