Question

已知函數f（x）=e^x（e為自然對數的底數），g（x）=ln（f（x）+a）（a為常數），g（x）是實數集R上的奇函數．
（1）求證：f（x）≥x+1（x∈R）；
（2）討論關于x的方程：lng（x）=g（x）•（x²-2ex+m）（m∈R）的根的個數；
（3）設n∈N^*，證明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+(

3

n

)n+…+(

n

n

)n＜

e

e-1

（e為自然對數的底數）．

Answer 1

分析：（1）構造新函數h（x）=e^x-x-1證明其其函數值非負即可證得f（x）≥x+1（x∈R），由本題解析式的形式知，此函數的單調性應用導數來求解，然后用單調性判斷h（x）的最小值的符合；
（2）由g（x）是實數集R上的奇函數可得g（0）=0，由此可以求得a的值，故g（x）可求得為g（x）=x，至此問題明確為討論方程lnx=x•（x²-2ex+m）在x＞0的根的個數，即

lnx

x

=x2-2ex+m在x＞0的根的個數．（m∈R）在將根的個數的問題轉化為兩個函數的交點的個數問題求解．
（3）由（1）知1+x≤e^x（x∈R），令x=

-i

n

， i=1，2，，n-1，將問題轉化即(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n

n

)n=(1-

n-1

n

)n+(1-

n-2

n

)n+…+(1-

1

n

)n+1＜

e

e-1

的問題，利用1+x≤e^x（x∈R），轉化后用放縮法證明即可．

解答：解（1）證：令h（x）=e^x-x-1，h'（x）=e^x-1，
令h'（x）＞0?e^x-1＞0?x＞0時f'（x）＞0；x＜0時，f'（x）＜0．∴f（x）_min=f（0）=0
∴h（x）≥h（0）=0即e^x≥x+1．

（2）∵g（x）是R上的奇函數
∴g（0）=0∴g（0）=ln（e⁰+a）=0
∴ln（1+a）=0∴a=0故g（x）=lne^x=x．
故討論方程lnx=x•（x²-2ex+m）在x＞0的根的個數．
即

lnx

x

=x2-2ex+m在x＞0的根的個數．（m∈R）
令u(x)=

lnx

x

，v(x)=x2-2ex+m．
注意x＞0，方程根的個數即交點個數．
對u(x)=

lnx

x

，(x＞0)，u′(x)=

1 x •x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

，
令u'（x）=0，得x=e，
當x＞e時，u'（x）＜0；當0＜x＜e時，u'（x）＞0．
∴u(x)極大=u(e)=

1

e

，
當x→0⁺時，u(x)=

lnx

x

→-∞；
當x→+∞時，

lim

x→+∞

u(x)=

lim

x→+∞

lnx

x

=0，但此時u（x）＞0，此時以x軸為漸近線．
①當m-e2＞

1

e

即m＞e2+

1

e

時，方程無根；
②當m-e2=

1

e

即m=e2+

1

e

時，方程只有一個根．
③當m-e2＜

1

e

即m＜e2+

1

e

時，方程有兩個根．

（3）由（1）知1+x≤e^x（x∈R），
令x=

-i

n

， i=1，2，，n-1，
∴1-

i

n

≤e-

i

n

，于是(1-

i

n

)n≤(e-

i

n

)n=e-i，i=1，2，，n-1，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n

n

)n=(1-

n-1

n

)n+(1-

n-2

n

)n+…+(1-

1

n

)n+1≤e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1+1=

1-e-(n-1)-1

1-e-1

=

1-e-n

1- 1 e

=

1- 1 en

1- 1 e

＜

1

1- 1 e

=

e

e-1

．

點評：本題考點是函數恒成立的問題與根的存在性及個數考查了依據相逢知識與題設條件進行轉化變形的能力．