Question

已知tan2θ=-

5

2

，且3π＜2θ＜4π．
求：（1）tanθ；
（2）

sin(θ- π 4 )

2sin2 θ 2 -sinθ-1

．

Answer 1

分析：（1）由題意，可先判斷角θ的取值范圍，得出其是第四象限角從而確定出角的正切值的符號，再由正切的二倍角公式得到角的正切的方程，解此方程求出正切值；
（2）由題意，先化簡

sin(θ- π 4 )

2sin2 θ 2 -sinθ-1

=

2? 2 (1-tanθ)

1+tanθ

，再將tanθ=-

5

5

代入計算出答案．

解答：解：（1）由題意3π＜2θ＜4π，得

3π

2

＜θ＜2π是第四象限角
又tan2θ=-

5

2

，
∴

2tanθ

1-tan2θ

=-

5

2

，解得tanθ=-

5

5

（2）由題，

sin(θ- π 4 )

2sin2 θ 2 -sinθ-1

=

2 2 (sinθ-cosθ)

-sinθ-cosθ

=

2 2 (-sinθ+cosθ)

sinθ+cosθ

=

2 2 (1-tanθ)

1+tanθ

將tanθ=-

5

5

代入得

sin(θ- π 4 )

2sin2 θ 2 -sinθ-1

=

2 2 (1+ 5 5 )

1- 5 5

=

10 +2  2

4

點評：本題考查二倍角的正切，二倍角的余弦，同角三角函數的基本關系等，解題的關鍵是利用公式靈活變形，計算求值，本題中有一易錯點，即沒有判斷角所在的象限，導致解出的正切值有兩個答案，切記！三角函數化簡求值題，公式較多，要注意選擇公式使得解題的過程簡捷．本題考查了利用公式變形計算的能力．