Question

【題目】如圖，在棱長均為的三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為與的交點(diǎn)，、分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：四邊形為正方形；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面沒有公共點(diǎn)？若存在求出的值.（該問寫出結(jié)論即可）

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2) (3)

【解析】

（1）先連結(jié)，由題意先證明平面，進(jìn)而證明為菱形，再證明，即可得出結(jié)論成立；

(2)根據(jù)題意建立如圖所示坐標(biāo)系，求出直線的方向向量以及平面的一個法向量，根據(jù)向量夾角的余弦值，即可得出結(jié)果；

(3)因為直線與平面沒有公共點(diǎn)，即是，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，求出平面的一個法向量，根據(jù)線面平行，得到直線的方向向量與平面法向量數(shù)量積為0，進(jìn)而可求出，即可得出結(jié)果.

解：（1）連結(jié).

因為在平面內(nèi)的射影為與的交點(diǎn)，所以.

由已知三棱柱各棱長均相等，所以，且為菱形.

由勾股定理得，即，所以四邊形為正方形.

（2）由（1）知平面，.

在正方形中，.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得

，

.

所以.

設(shè)平面的法向量為，

則，即.

令，則.

于是.

又因為，

設(shè)直線與平面所成角為，

則.

所以直線與平面所成角的正弦值為

（3）直線與平面沒有公共點(diǎn)，即.

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，與重合時不合題意，所以.

因為.

設(shè)為平面的法向量，

則即

令,則.

于是.

若，.

又，

所以解得.

此時，

所以.所以.