Question

在銳角△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊依次為a，b，c，設=（sin（-A），1），=（2sin（+1），-1），a=2，且•=-．
（1）若b=2，求△ABC的面積；
（2）求b+c的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過向量的數量積二倍角的余弦函數，求出A的二倍角的余弦值，然后求出A．通過正弦定理求出R，然后求出三角形的面積．
（2）解法1：由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，結合不等式求出b+c的最大值為4．
解法2：由正弦定理得：=，利用兩角和與差的三角函數，根據角的范圍，求出b+c的最大值．
解答：解：（1）•=2sin（-A）sin（+A）-1
=2sin（-A）cos（-A）-1
=sin（-2A）-1=cos2A-1=-，
∴cos2A=-，…（3分）
∵0＜A＜，∴0＜2A＜π，∴2A=，A=   …（4分）
設△ABC的外接圓半徑為R，由a=2RsinA得2=2R×，∴R=2
由b=2RsinB得sinB=，又b＜a，∴B=，…（5分）
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=•+•=，…（6分）
∴△ABC的面積為S=absinC=•2•2•=3+．…（7分）
（2）解法1：由a²=b²+c²-2bccosA，得b²+c²-bc=12，…（9分）
∴（b+c）²=3bc+12≤3（）²+12，…（11分）
∴（b+c）²≤48，即b+c≤4，（當且僅當b=c時取等號）
從而b+c的最大值為4．…（12分）
解法2：由正弦定理得：====4，又B+C=π-A=，…（8分）
∴b+c=4（sinB+sinC）=4[sinB+sin（-B）]=6sinB+2cosB=4sin（B+），…（10分）
∴當B+=，即B=時，b+c取得最大值4．…（12分）
點評：本題考查正弦定理與余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的三角函數的應用，考查計算能力，轉化思想的應用．