Question

直線y=-

3

x與橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）交于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  3 -1

  2

• C．

  3

  -1
• D．4-2

  3

Answer 1

分析：以AB為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，也過左焦點(diǎn)，以這兩個焦點(diǎn)A、B兩點(diǎn)為頂點(diǎn)得一矩形，求出矩形寬與長，利用橢圓的定義，即可求得橢圓C的離心率．

解答：解：由題意，以AB為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，也過左焦點(diǎn)，以這兩個焦點(diǎn)A、B兩點(diǎn)為頂點(diǎn)得一矩形．
直線y=-

3

x的傾斜角為120°，所以矩形寬為c，長為

3

c．
由橢圓定義知矩形的長寬之和等于2a，即c+

3

c=2a．
∴e=

c

a

=

2

1+ 3

=

3

-1
故選C．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查圓與橢圓的綜合，考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是判斷以這兩個焦點(diǎn)A、B兩點(diǎn)為頂點(diǎn)得一矩形．