Question

如圖，過點P（0，a³）（0＜a＜2）的兩直線與拋物線y=-ax²相切于A，B兩點，且AD和BC均垂直于直線y=-8，垂足分別為D，C，得矩形ABCD．
（1）求A，B兩切點的坐標（用a表示）；
（2）設矩形ABCD的面積為S（a），求S（a）的最大值．

Answer 1

解：（1）設切點為（x₀，y₀），則y₀=-ax₀²，∵y′=-2ax，∴切線方程為y-y₀=-2ax₀（x-x₀），
即y+ax₀²=-2ax₀（x-x₀）．∵切線經過點（0，a³），∴a³+ax₀²=-2ax₀（0-x₀），
即a³=ax₀²，于是x₀=±a，得y₀=-a³，∴A（a，-a³），B（-a，-a³ ）．
（2）可知AB=2a，BC=8-a³，∴S（a）=16a-2a⁴（0＜a＜2），∴S′（a）=16-8a³ ．
∴當0＜a＜時，S′（a）＞0； ＜a＜2時，S′（a）＜0，∴當時，S（a）有最大值．
分析：（1）設切點為（x₀，y₀），則y₀=-ax₀²，得到切線的方程，把切點的坐標代入求得x₀=±a，從而得到y₀=-a³，進而得到A、B的坐標．
（2）可知AB=2a，BC=8-a³，得S（a）=16a-2a⁴（0＜a＜2），利用導數研究函數的單調性，由單調性求得函數的最值．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，利用導數研究函數的單調性，由單調性求得函數的最值，求出A、B的坐標，是
解題的關鍵．